lunes, 28 de febrero de 2011

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

La estadística busca entre otras cosas, describir las características típicas de conjuntos de datos y, como hay varias formas de hacerlo, existen y se utilizan varios tipos de promedios. Se les llama medidas de tendencia central porque general mente la acumulación más alta de datos se encuentra en los valores intermedios.
Las medidas de tendencia central comúnmente empleadas son :
  • Media aritmética
  • Mediana
  • Moda
  • Media geométrica
  • Media armónica
MODA
La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en la serie de datos. Así por ejemplo, de la serie {14, 15, 17, 17, 21, 21, 21, 33, 36, 40}, la moda es 21.
La moda es una medida muy natural para describir un conjunto de datos; su concepto se adquiere fácilmente : es la altura más corriente, es la velocidad más común, etc. Además tiene la ventaja de que no se ve afectada por la presencia de valores altos o bajos.
La principal limitación esta en el hecho de que requiere un número suficiente de observaciones para que se manifieste o se defina claramente.
Otros inconvenientes son que puede darse el caso de que una determinada serie no tenga moda o que tenga varias modas.
Por ejemplo :
L, K, M, O, N (no hay moda)
5, 6, 10, 5, 8, 6, 7, 4 (2 modas)
MEDIANA
La mediana toma en cuenta la posición de los datos y se define como el valor central de una serie de datos o, más específicamente, como un valor tal que no más de la mitad de las observaciones son menores que el y no más de la mitad mayores.
El primer paso es ordenar los datos de acuerdo a su magnitud, luego se determina el valor central de la serie y esa es la mediana. Si el número de datos es par, existirán dos valores centrales y entonces la mediana se obtiene sacando el promedio de ellos.
Por ejemplo :
7, 8, 8, 10, 12, 19, 23 Med = 10
3, 4, 4, 5, 16, 19, 25, 30 Med = (5+16)/2 = 10.5

MEDIA ARITMÉTICA
La media aritmética es el promedio más comúnmente usado, este puede ser simple o ponderado.
La media aritmética simple esta dada por la formula SX/n y que significa: la suma de todos los valores dividida por el número de datos.
Por ejemplo:
10, 13, 10, 13, 14, 10, 13, 10, 15
Media.jpg (2183 bytes)
MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA
Si los valores que toma x en una serie de datos, no todos tienen la misma importancia, es valido asignar "pesos" o "ponderaciones" de acuerdo a la importancia de cada dato.
En la serie del ejemplo anterior aparecen los números; pero cada uno con diferente frecuencia. Si cada uno de estos datos se multiplica por su respectiva frecuencia o ponderación y se suman estos productos, se obtendrá la misma suma que si se hubieran sumado uno por uno.
Sin ponderar
Cálculo ponderado
Número x
Número x
Frecuencia
Producto (fx)
10
10
4
40
13
13
3
39
14
14
1
14
15
15
1
15
Suma = 52

9
108
52/4 = 13
108/9 = 12

MEDIA GEOMÉTRICA
La media geométrica es la raíz enésima del producto de todos los valores de la serie.
Slide4.JPG (2164 bytes)
Así por ejemplo la media geométrica de 3,4,9 y 12 seria:
Slide5.JPG (3736 bytes)
Como este sistema de calculo resulta muy difícil de emplear, máxime cuando son números grandes o largas series de datos, en la práctica se recurre a los logaritmos.
xg = antilog (S log xi)/n
así la xg del ejemplo se calcularía así :
xg = antilog ( log 3 + log 4 + log 9 + log 12 )
                                          4
xg = antilog (0.477 + 0.602 + 0.954 + 1.079 )
                                            4
xg = antilog (3.11)
                      4
xg = antilog 0.78
xg = 6

MEDIA ARMÓNICA
La media armónica se define como el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de los valores.
Slide6.JPG (3339 bytes)
y reacomodando la fórmula se tiene:
Slide7.JPG (3249 bytes)
Así la media armónica de 3, 2, 6 sería:
Armo1.jpg (3613 bytes)
Armo2.jpg (2706 bytes)
Xa = 3
Cálculo de las medidas de posición en datos agrupados
Cuando los datos están agrupados en distribución de frecuencias las fórmulas varían un poco.
Clases
x
f
F
fx
29.5-34.5
32
1
1
32
34.5-39.5
37
3
4
111
39.5-44.5
42
8
12
336
44.5-49.5
47
9
21
423
49.5-54.5
52
7
28
364
54.5-59.5
57
4
32
228
59.5-64.5
62
3
35
186
64.5-69.5
67
3
38
201
69.5-74.5
72
2
40
144
Total


40
2025
Donde:
x es el punto medio de clase
f es la frecuencia absoluta
F es la frecuencia acumulada
fx es el producto del punto medio por la frecuencia absoluta

MODA
Slide8.JPG (5190 bytes)
Donde :
L = Limite inferior de la clase modal.
d1 = Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase anterior.
d2 = Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase posterior.
C = Intervalo de clase.
Por ejemplo :
Primero se localiza la clase modal que es aquella en la que hay la mayor densidad de frecuencia por unidad de intervalo y luego aplicar la formula.
La clase es : 44.5 - 49.5

Entonces:
                      Mo = 44.5 +    1   *  5
                                           1 + 2
= 44.5 + 1.67  =  46.17

MEDIANA (DATOS AGRUPADOS)
Slide9.JPG (2491 bytes)
Donde :
n = Número total de observaciones.
L = Limite inferior de la clase que contiene la mediana.
f  = Frecuencia de la clase que contiene la mediana.
F = Frecuencia acumulada "menos de" de la clase anterior.
C = Intérvalo de clase.
La determinación de la clase que contiene la mediana se hace dividiendo n/2 y viendo en cual clase quedó este acumulado. En el ejemplo es la clase 44.5 - 49.5 ya que en ésta quedó el 20° dato.
Slide10.JPG (4712 bytes)

= 54.5 + 28.8 - 28 * 5  =  55.5
                             4


FUENTE:
http://www.costaricalinda.com/Estadistica/medidas1.htm

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